Кинематика

 

Кинематика – раздел механики, изучает движение материальной точки (тела) без учета причин, вызвавших это движение.

Материальная точка (тело), двигаясь в пространстве, оставляет в нём линию (след). Линия, которую описывает тело при своём движении, называется траекторией. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движение. Частным случаем криволинейного движения является движение по окружности.

Пусть материальная точка (тело) переместилось вдоль некоторой траектории из точки А в точку В (рис.). Расстояние от точки А до точки В, которое тело прошло вдоль траектории, называется путём. Эта величина является скаляром и обозначается . Вектор , соединяющий начальное положение тела (материальной точки) с его последующим положением, называется перемещением. Если тело движется прямолинейно и без изменения направления движения, то , т.е. модуль перемещения равен пройденному пути. В общем случае модуль перемещения  (рис.).

            Для характеристики быстроты перемещения вводится понятие скорости. Скорость  – величина векторная. Средняя скорость показывает, чему равно перемещение  тела за единицу времени ∆t:

При движении по траектории скорость может меняться.

Скорость тела в данный момент времени в данной точке траектории называется мгновенной скоростью:

Вектор  направлен вдоль перемещения, а вектор  направлен по касательной в данной точке траектории.

Скорость тела может изменяться по величине и направлению. Величина, характеризующая любое изменение скорости, называется ускорением. Ускорение  величина векторная:

На рисунке изображено движение материальной точки с переменной скоростью по криволинейной траектории.

 – изменение скорости по величине (тангенциальная составляющая),

 – изменение скорости по направлению (нормальная составляющая)

 

 

 

 

 

где       a – полное ускорение,

aτ – тангенциальная составляющая, характеризующая изменение скорости по величине,

an – нормальная составляющая, характеризующая изменения скорости по направлению (центростремительное ускорение).

Ускорение изменяется со временем. В зависимости от величины ускорения, движения подразделяются на:

а) если  переменно – движение неравномерное;

б) если a = const – движение равнопеременное, в частном случае: при а > 0 – равноускоренное, при a < 0 равнозамедленное;

в) если a = 0 – движение равномерное и прямолинейное.

Величины , ,, t,  называются кинематическими параметрами поступательного движения. Установление связи между ними даёт возможность решать любые кинематические задачи:

 

;

 

 

Частные случаи решения этих уравнений даны в таблице:

 

Физическая величина

Поступательное движение

По горизонтали

По вертикали

Уравнения для видов механического движения.

Равно-

мерное

Равно-

ускоренное

Равно-

замедленное

Равно-

ускоренное (вниз)

Равно-

замедленное (вверх)

Путь

при

Скорость

v = v0

при

Ускорение

a = 0

a > 0

a < 0

g > 0

g < 0

 

h и g – соответственно путь и ускорение (ускорение свободного падения) при вертикальном движении.

При совместном решении этих уравнений могут быть получены частные решения, например:

 

 

 

Движение тела брошенного под углом α к горизонту (рис.) является сложным, состоящим из нескольких движений (без учёта сопротивления воздуха):

а) равномерного прямолинейного вдоль оси х со скоростью v = v0cosα, c дальностью полёта:

 

 

б) равнозамедленного вверх со скоростью v = v0sinα, с максимальной высотой подъёма , временем подъёма  ;

в) равноускоренного (свободного падения вниз) со временем спуска tc = tпод.

Движение по окружности – частный случай криволинейного движения. Рассмотрим вращение твёрдого тела (или материальной точки) вокруг неподвижной оси 0/0/(рис.).

 

 

Точки А, В и С расположены на радиусе шара на разных расстояниях от оси вращения. За одно и то же время ∆t они описывают разные дуги , но поворачиваются на один и тот же угол ∆φ – угол поворота называемый угловым путём. Он аналогичен линейному пути S при поступательном движении, поэтому по аналогии:

 

 

где       ωср и εср – средние угловая скорость и ускорение,

ω и ε – мгновенные угловые скорость и ускорение.

Угловая скорость  и угловое ускорение  – векторные величины, направленные по оси вращения. Вектор  имеет направление правого винта. При ускоренном вращении вектора  и  совпадают, при замедленном движении направлены в разные стороны. Движение каждой точки твердого тела можно описать как через параметры поступательного движения , v, a, так и параметры вращательного движения φ, ω, ε. Между этими параметрами существует очень простая зависимость:

 

 

где       r – удаленность точки (ее радиус) от оси вращения.

При равномерном вращении вектор a в любой точке траектории направлен по радиусу r к центру окружности О и называется центростремительным ускорением:

 

 

Число оборотов n за единицу времени t называется частотой ν вращения. Время одного полного оборота тела (точки) Т называется периодом вращения, при этом r опишет угол  радиан:  или

.

 

Основные уравнения вращательного движения приведены в таблице:

 

Вращательное движение

Равномерное

Равнопеременное

 

В заключении раздела приведём графики пути S = S(t) (рис. а, б, в), скорости V = V(t) (рис. г, д) и ускорения a = a(t) (рис. е) для различных видов движения тел: