Механические колебания и волны

 

Колебания, рассматриваемые в разделе «Механика», называются механическими, при которых рассматриваются изменения положений, скоростей, ускорений и энергий каких-либо тел или их частей.

Силу, под действием которой происходит колебательный процесс, называют возвращающей силой.

Колебания делятся также на периодические и непериодические. Непериодические колебания можно разложить на периодические, которые описываются функцией:

                                   f(t) = f(t + nT),

где       Т – период (наименьшее время повторения),

nчисло колебаний.

Описать колебательный процесс – это значит выбрать параметр, зависящий от времени, и составить уравнение колебаний, решив его – получить закон колебаний.

Простейшим видом периодических колебаний являются гармонические колебания, происходящие по закону синуса или косинуса.

Гармоническая колебательная система (система тел, совершающих колебания) обычно имеет одно положение, в котором может пребывать сколь угодно долго – положение равновесия О.

Отклонения от положения равновесия называют смещением, и обозначается Х, а наибольшее смещение (точки В или С) называется амплитудой колебания и обозначается А.

Периодические колебания совершаются циклично. Движение в течение одного цикла (когда тело, пройдя все промежуточные положения, возвращается в исходное) называется полным колебанием (О-С-О-В-О). Время одного полного колебания называется периодом колебания (обозначается Т). Если тело за время t совершает n полных колебаний то , а  и называется частотой колебаний. Число колебаний за 2π единиц времени называется циклической (круговой) частотой и обозначается ω:

Теперь можем дать математическую запись гармонического колебания и его графическое представление:

где       фаза колебания (физическая величина, определяющая положение колебательной системы в данный момент времени),

φ0 – начальная фаза колебания.

При гармонических колебаниях скорость и ускорение тела также могут изменятся по закону синуса или косинуса. Однако фазы смещения Х, скорости v и ускорения a разные и описываются уравнениями:

Между амплитудами смещения А, скорости vA и ускорения аА существует связь:

Простейшими колебательными системами являются:

а) математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания под действием силы тяжести.

Период колебания определяется уравнением:

.

Период Т зависит лишь от длины маятника и местоположения (удалённости от центра Земли или другого небесного тела), которое определяется величиной ускорения свободного падения ;

б) пружинный маятник – материальная точка, закреплённая на абсолютно упругой пружине.

Период колебания определяется уравнением:

,

где       m – масса материальной точки,

к – коэффициент упругости пружины, определяемый из закона Гука:

.

Характерной особенностью колебательного движения является периодическое превращение кинетической энергии тела в потенциальную и обратно.

Например, в крайнем положении тело (математический маятник) имеет нулевую скорость и в то же время – наибольшую высоту h0 от горизонтали, проведённой через положение равновесия О. Следовательно, в этом состоянии кинетическая энергия тела равна нулю, а потенциальная имеет наибольшее значение, равное mgh0. При прохождении тела через положение равновесия имеем h = 0, а скорость тела достигнет наибольшего значения v0. Следовательно, потенциальная энергия тела равна нулю, а кинетическая имеет наибольшее значение . В промежуточных состояниях тело имеет и кинетическую  и потенциальную (mgh) энергии, сумма этих энергий равна полной энергии колеблющегося маятника; таким образом:

.

У пружинного маятника происходит периодическое превращение кинетической энергии колеблющегося тела в потенциальную энергию деформации пружины. Сумма кинетической энергии тела и потенциальной энергии пружины остаётся при колебаниях постоянной:

где       Х0 – максимальная деформация пружины в процессе колебания.

Эти формулы, выражающие закон сохранения механической энергии, применимы только в том случае, если во время колебаний не происходит превращения механической энергии в тепловую, т.е. если нет никакого трения и колебания являются незатухающими. Если же колебательное движение происходит при наличии трения, то оно будет затухающим, при котором максимальные отклонения Х0 и скорости v0 будут с течением времени уменьшаться.

Колебания, возникающие в некоторой точке пространства, за счёт того или иного взаимодействия могут передаваться от источника в разных направлениях. Процесс распространения колебания в пространстве называется волновым процессом или волной.

Вместе с колебаниями волной переносится и энергия колебаний, но сами носители этой энергии (колеблющиеся частицы среды) волной не переносятся.

В зависимости от направлений колебаний частиц среды и направления распространения волн различают волны:

1. Поперечные – в которых частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны (волны на поверхности жидкости, в твёрдых телах).

2. Продольные – в которых частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны (волны в газах, внутри жидкости).

Скорость, с которой распространяется возмущение в среде, называют скоростью волны vв. Расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний Т (или кратчайшее расстояние между двумя ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе), называют длинной волны λв:

,

где       ν – частота колебаний.

Необходимо отметить, что скорость волны vв зависит от свойств среды и при переходе через границу раздела сред изменяет свою величину, а частота колебаний ν зависит лишь от источника колебаний.

где       r – расстояние от источника волн до рассматриваемой точки среды вдоль направления распространения.

Звуковыми волнами называют процесс распространения продольных механических волн в упругих средах. В разных упругих средах скорость распространения звука различна: в воздухе vзв = 340 м/с; в воде vзв = 1400 м/с; в металле vзв = 5000 м/с. Она зависит от плотности и упругости среды, в которой распространяется звук.

Громкость звука определяется переносимой волной энергией, которая пропорциональна квадрату амплитуды колебания частиц. Высота тона определяется частотой колебания частиц среды (чем больше частота колебания частиц, тем выше звук). Ухо человека воспринимает звук с частотой от 16 до 20000 Гц.

Звуковые волны с частотой колебаний частиц выше 20000 Гц называют ультразвуком. Ультразвук излучается при высокочастотных колебаниях некоторых кристаллических пластин (например, кварцевых) в переменном электрическом поле. Ультразвук широко применяется в технике, медицине и играет большую роль в жизни многих животных, которые сами излучают и улавливают ультразвуковые волны (дельфины, летучие мыши). Звуковые волны с частотой меньше 16 Гц называются инфразвуковыми.