Задача №1. Оконная штора массы 1 кг и длины 2 м свертывается в тонкий валик над окном. Какая при этом совершается работа? Трением пренебречь.

 

m = 1 кг;

ℓ = 2 м;

g = 9,8 м/с2.

А – ?

 

 

Решение: при свертывании шторы происходит увеличение ее потенциальной энергии. В начальный момент эта энергия W1:

,

где       h1 – положение центра тяжести развернутой шторы, который находится в геометрическом центре шторы и отстоит от точки О на величину I/2ℓ, следовательно:

                                              

В конечном положении центр тяжести свернутой шторы находится на высоте , потенциальная энергия:

По закону, сохранения энергии:

Проверка единиц измерения:

Ответ: работа по свертыванию шторы равна 9,8 Дж.

 

Задача №2. Какую работу необходимо произвести, чтобы телеграфный столб массой 200 кг, к вершине которого прикреплена крестовина массой 30 кг, перевести из горизонтального положения в вертикальное? Длина столба 10 м.

 

m1 = 200 кг;

m2 = 30 кг;

ℓ = 10 м;

g = 9,8 м/с2.

А – ?

Решение: примем начальную энергию системы столб – перекладина, когда они находятся на земле, за нуль .

В конечном положении полная энергия, системы будет складываться из потенциальной энергии столба и перекладины:

                                               ,

где       – положение центра тяжести столба;

             – положение центра тяжести перекладины.

Следовательно:                       .

По закону сохранения энергии:

                                              

Ответ. 12,7·103 Дж.

 

Задача №3. Пуля перед ударом о земляную насыпь имела скорость 400 м/с и углубилась на расстояние 0,5 м. Определить силу сопротивления насыпи движению пули, если масса ее 24 г.

 

m = 24·10-3 кг;

ℓ = 0,5 м;

v = 400 м/с.

Fc – ?

 

Решение: к моменту удара о насыпь пуля обладала кинетической энергией:

                                              

Углубившись на расстояние ℓ пуля остановилась, и ее энергия обратилась в нуль .

Это изменение энергии произошло за счет работы против силы сопротивления:

                                              

С другой стороны:       

Откуда                        

Проверка единиц измерения:

                                              

Ответ: 1980 H.

 

Задача №4. Мотор самолета массой m выключается во время горизонтального полета со скоростью v1 на высоте h. Самолет планирующий полетом достигает земли со скоростью v2, меньшей, чем v1. Определить среднюю силу сопротивления воздуха при спуске самолета, принимая длину спуска равной ℓ.

 

m; v1; v2; h; ℓ; g.

Fc – ?

 

Решение: в начальный момент движения полная энергия самолета складывалась из кинетической и потенциальной:

                                                                                                                        (1)

К моменту приземления потенциальная энергия самолета уменьшилась до нуля, полная энергия в этот момент стала равной только кинетической:

                                                                                     (2)

Изменение полной энергии тела произошло за счет работы внешних сил, в нашем случае за счет силы сопротивления. По закону сохранения энергии с учетом работы внесших сил получим:

                                                                   (3)

По определению работы:

,

где       Fc – величина силы сопротивления,

α = 180° – угол между направлением силы и направлением перемещения.

Вектор Fc всегда направлен в сторону, противоположную движению.

Итак:                                                                                                                         (4)

Подставляя (1), (2), (4) в (3), получим:

                                               

откуда                         

Задача №5. Какой кинетической энергией обладало тело массой 2 кг, если оно поднялось по наклонной плоскости с углом наклона 30° на высоту 1 м? Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью 0,1.

 

m = 2 кг;

α = 30°;

h = 1 м;

k = 0,1;

g = 9,8 м/с2.

К1 – ?

 

Решение: в начальный момент тело обладало кинетической энергией К1. В конечный момент – потенциальной: П2 = mgh.

По закону сохранения энергии работа силы трения:

с другой стороны:         ,

где      

итак:                                      

                                                                                                                  (1)

Силу трения скольжения определим через коэффициент трения:

,

где       .

Следовательно:                       ,                                                                           (2)

подставляя (2) в (1), получим:

                                              

Ответ: кинетическая энергия тела в начале подъема была 23 Дж.

 

Задача №6. Поезд движется на подъем со скоростью 36 км/ч. Определить мощность, развиваемую локомотива, если сила тяги локомотива рана 300 кН.

 

v = 36км/ч = 10м/с;

Fт = 300 кН = 3·105 Н.

N – ?

 

Решение: по определению, мощность:

где       А – работа силы тяги:

,

т.к. нашем случае угол α = 0, то

                                              

Размерность искомой величины:

N = 3·105·10 = 3·106 Вт = 3 МВт.

Ответ: мощность локомотива на подъеме 3 MBт.

 

Задача №7. Два неупругих шара массами 2.кг и 3 кг движутся со скоростями соответственно 8 м/с и 4 м/с. Определить увеличение внутренней энергии шаров при их столкновении, если меньший шар нагоняет больший. Удар считать не упругим.

 

m1 = 2 кг;

m2 = 3 кг;

v1 =8 м/с;

v2 = 4 м/с.

ΔW – ?

 

Решение: запишем закон сохранения импульса для неупругого удара шаров:

                                              

Определим скорость u шаров после взаимодействия

                                                                         (1)

По закону сохранения энергии изменение внутренней энергия шаров будет иметь вид

                                                                                     (2)

Решив совместно уравнения (I) и (2), будем иметь:

                                              

Ответ: Внутренняя энергия шаров увеличится на 9,6 Дж.

 

Задача №8. Тела с массами 2 кг и 3 кг двигаются навстречу друг другу со скоростями 2 м/с и 1 м/с. Найти скорость тел после абсолютно упругого столкновения. Трением пренебречь.

 

m1 = 2 кг;

m2 = 3 кг;

v1 =2 м/с;

v2 = 1 м/с.

u1, u2 – ?

 

Решение: схема столкновения изображена на рисунке. При абсолютно упругом ударе двух тел выполняется закон сохранения импульса:

который в проекциях на ось Ох имеет вид:

                                                                                    (1)

Выполняется также закон сохранения механической энергии, которая в данном случае совпадает с кинетической энергией тел:

                                                (2)

Решаем совместно систему уравнений (1)-(2), которая при подстановке числовых данных имеет вид:

                                                                            (3)

                                                                                                                              (4)

Выражаем из (3) скорость  и подставляем в (4), тогда получаем квадратное уравнение для определения U2:

                                              

Решение уравнения (5) имеет вид:

                                              

тогда                                      

Заметим, если сценарий столкновения выбирается отличным от изображенного на рис., то ответы будут те же, но с точностью до знаков. При этом в окончательных выражениях знаки минус надо опустить.

Ответ: скорость тел после столкновения равна u1 = 1,6 м/с, u2 = 1,4 м/с.

 

Задача №9. В шар массой 1,5 кг, подвешенный на тонком стержне длиной 0,7 м, попадает и застревает в нем пуля массой 10 г, летевшая наклонно сверху вниз под утлом 30° к горизонту со скоростью 500 м/с. На какой угол γ откачнется шар с пулей?

 

m = 1,5 кг;

m1 = 10-2 кг;

ℓ = 0,7 м;

α = 30°;

v = 500 м/с.

γ – ?

 

Решение: в горизонтальном направлении на пулю и шар внешние силы не действуют, поэтому сумма проекций импульсов пули и шара на ось Ox не меняется:

 

                                              

 

где       u – скорость шара сразу после попадания пули.

 

Отсюда:                                  

 

При максимальном отклонении, согласно закону сохранения энергии, имеем:

 

                                              

 

Из последнего уравнения находим h:

 

.

 

Как видно из рисунка:   .

 

Тогда                                       ,

 

или окончательно имеем:

                                              

 

 

Ответ: угол отклонения составляет 60°.

 

 

Задача №10. Человек стоит на покоящейся тележке и бросает горизонтально камень массой 8 кг со скоростью 5 м/с. Определить, какую работу совершит при этой человек, если масса тележки вместе с человеком 160 кг?

 

m = 8 кг;

М = 160 кг;

v = 5 м/с.

A – ?

 

Решение: камень и тележка после взаимодействия приобретают кинетическую энергию. Следовательно, работа человека по закону сохранения энергия, равна сумме кинетических энергий камня и тележки:

                                              

где       u скорость тележки после броска камня.

Эту скорость найдем по закону сохранения импульса:

                                               ,

откуда                          .

Следовательно            

Ответ: человек совершит работу равную 105 Дж.

 

Задача №11. Ящик с песком массой 15 кг удерживается пружиной, жесткость которой 30 Н/см. Пуля массой 10 г, движущаяся со скоростью 600 м/с, попадает в ящик и застревает в ней. Определить на сколько при этом сожмется пружина.

 

m = 10 г = 10-2 кг;

М = 15 кг;

K = 30 Н/см= 3·103 Н/м;

v = 600 м/с.

х – ?

 

Решение: пуля, взаимодействуя с ящиком, сообщает ему скорость u, которую найден по закону сохранения импульса:

                                              

или                                         

По закону сохранения энергии кинетическая энергия ящика:

равна потенциальной энергии сжатой пружины:

                                              

Откуда                        

 

Ответ: пружина сжимается на 0,8 мм.

 

Задача №12. Молот массой 5 кг ударяет небольшой кусок железа, лежащий на наковальне. Масса наковальни 100 кг. Массой куска железа пренебречь. Удар неупругий. Определить, к.п.д. удара молота?

 

m = 50 кг;

М = 100 кг.

ŋ – ?

 

Решение: энергию, идущую на деформацию куска железа, следует считать полезной:

W = W1W2,

где       энергия молота в момент удара о наковальню;

  энергия наковальни непосредственно после удара.

Скорость u наковальни после удара определим по закону сохранения импульс:

КПД удара молота равен отношению энергии W, затраченной на деформацию куска железа, ко всей затраченной энергии W1:

                                               ,

или                                         

 

 

Ответ: КПД удара ŋ = 95,2%.

 

Задача №13. Верхний конец стального стержня закреплен неподвижно, к нижнему подвешен груз массой 2000 кг. Начальная длина стержня 5 м, сечение 4 см2. Определить абсолютное и относительное удлинение стержня и напряжение материала стержня. Модуль Юнга для стали 2,2·1011 Па.

 

S = 4 см2 = 4·10-4 м2;

M = 2·103 кг;

0 = 5 м;

E = 2,2·1011 Па.

Δ, ε, σ – ?

 

Решение: деформация стержня происходит под действием силы тяжести подвешенного к стержню груза F = mg. По определению напряжения:

                                              

 

Относительное удлинение найдем из закона Гука:

По определению относительного удлинения:

,

откуда                         

 

Ответ: ∆ℓ = 1,11·10-3 м = 1,11 мм, ε = 2,23·10-4, σ = 4,9·107 Н/м2.

 

 

Задача №14. Определить работу растяжения двух соединенных последовательно пружин жесткостями k1 = 400 H/м и k2 = 250 Н/м, если первая пружина при этом растянулась на ∆ℓ1 = 2 см.

 

k1 = 400 H;

k2 = 250 Н/м;

∆ℓ =2 см = 2·10-2 м.

A – ?

 

Решение: внешняя сила  одинакова по величине для пружин 1 и 2. Тогда, согласно закону Гука:

;

.

Найдем растяжение второй пружины:

                                                                                                                                (1)

Общая работа А по растяжению пружин равна сумме работ по растяжению каждой пружины:

A = A1+A2                                                                                           (2)

Учитывая, что работа внешней силы идет на сообщение пружине потенциальной энергии, получим:

;

                                                                                   (3)

Решим совместно уравнения (1), (2), (3):

                                              

 

Проверка единиц измерения:

                                              

 

Ответ: работа растяжения пружины равна 0,208 Дж.

 

Задача №15. Определить КПД установки водоснабжения, если бак водоизмещением 40 м3, размещенный на высоте 10 м, наполняется водой за 12 мин насосом мощностью 7 кВт.

 

V = 40 м3;

t = 12 мин = 720 сек;

N = 7 кВт = 7·103 Вт;

ρ = 103 кг/м3;

g = 9,8 м/с2.

η – ?

 

Решение: КПД определяется по формуле:

где       Апол – полезная работа, в данном случав это работа по наполнению бака водой;

Азат – затраченная работа, работа произведенная насосом.

                                               ,                                                                (1)

где       En1 = 0, En2 = mgh – потенциальная энергия поднятой воды:

                                                                                                                                      (2)

Тогда ŋ с учетом уравнений (1) и (2):

                                              

Зная, что плотность равна:

 

,

имеем:                        

 

Проверка единиц измерения:

                                              

 

Ответ: КПД установки 78%.