Задача №1. В цилиндре под поршнем находится некоторая масса воздуха. На его нагревание при постоянном давлении затрачено 5 кДж. Найти работу, произведенную при этом газом. Теплоемкость воздуха при постоянном давлении 103 Дж/(кг·К), молярная масса 29·10-3 кг/моль.

Q = 5 кДж = 5·103 Дж;

Ср = 103 Дж/(кг·К);

M = 29·10-3 кг/моль.

А – ?

Решение: работа, совершаемая газом при изобарном расширении, равна:

А = Р (V2 – V1).                                                                        (1)

Уравнение Менделеева-Клапейрона для воздуха в цилиндре до и после нагревания:

;                                                                               (2)

                                                                               (3)

Из этих уравнений получим:

                                                                     (4)

Затраченное количество теплоты:

Q = cр(T2T1)                                                                                (5)

Из уравнений (4) и (5) имеем:

;

Ответ: работа, совершенная газом, равна 1,37·103 Дж.

 

Задача №2. Гелий был нагрет при неизменном объеме V = 50 л. При этом его давление изменилось на 106 Па. Найти теплоту, сообщенную газу.

V = 50 л = 50·10-3 м3;

ΔР = 106 Па.

Q – ?

Решение: согласно первого закона термодинамики количество теплоты Q, сообщенное газу, численно равно сумме работы А расширения газа и изменению его внутренней энергии ΔU:

Q = А+ ΔU

Так как V = const (изохорный нагрев), то А = РΔ V = 0 и Q = ΔU.

Изменение внутренней энергии для одноатомного гелия:

Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для газа до нагрева:

.

После нагрева (при V = const):

.

Вычитая из второго уравнения первое, получим:

 или

Подставим  в формулу для

Тогда                                      

Размерность:              

.

Ответ: количество теплоты, сообщенное гелию, равно 7,5 кДж.

 

Задача №3. С какой скоростью свинцовая пуля должна ударить в преграду, чтобы она расплавилась, если до удара температура пули была 373 К? При ударе в тепло превращается 60% кинетической энергии пули.

Т = 373 К;

с = 125 Дж/кг К;

λ = 2,58·104 Дж/кг;

Тпл = 600 К.

V – ?

Решение: для нагревания пули до температуры плавления и ее плавления требуется количество теплоты:

                                   Q = cm·(TплT)·mλ

Это количество теплоты получается за счет кинетической энергии летящей пули:

По условию задачи:      Q = 0,6Ек,

следовательно:                        ;

отсюда:                                  

Подставляем числовые значения:

 = 425 м/с

Проверка единиц измерения:

Ответ: пуля должна ударить в преграду со скоростью 425 м/с.

 

Задача №4. Какое количество теплоты было сообщено газу, если при расширении он, действовал на поршень с силой 400 Н. При этом поршень, переместился на 0,2 м. Внутренняя энергия изменилась на 370 Дж.

F = 400 H;

Δx = 0,2 м;

ΔU = 370 Дж.

Q – ?

Решение: согласно, первого закона термодинамики:

Q = А+ ΔU

Газ, расширяясь, совершает работу:

А = F·ΔU

Тогда                                                  Q = F·Δx + ΔU

Размерность:                           [Q] = [F·Δx]+[ ΔU] = Н·м +Дж = Дж.

Q = 400·0,2 + 370 = 450 Дж.

Ответ: газу сообщено количество теплоты 450 Дж.

 

Задача №5. Два килограмма воздуха, занимающего объем 1 м3 под давлением в 2 атм, нагревали при постоянном давлении. При этом объем воздуха увеличился до 3 м3. После этого воздух стали нагревать при постоянном объеме и давление увеличилось до 5 атм. Найти изменение внутренней энергии и совершенную газом работу. Удельная теплоемкость воздуха при постоянном объеме равна 0,7 кДж/кг·К.

m = 2 кг;

μ = 29·10-3 кг/моль;

R = 8,31Дж/моль·К;

V1 = 1 м3;

P1 = 2 атм. = 2,026·105 Па;

V2 = 3 м3;

P2 = 5 атм. = 5,066·105 Па;

CV = 0,7 кДж/кг·К = 700 Дж/кг·К.

ΔV – ? А – ?

Решение: изменение внутренней энергии можно найти, применив к рассматриваемому процессу первое начало термодинамики:

Q = ΔU+ А

Изменение внутренней энергии при переходе из состояния 1 в состояние 3 не зависит от процессов перехода и равно:

ΔU = CVmΔT = CVm·(T3 – T1)

Уравнение состояния 1:

Уравнение состояния 2:

Решаем полученные уравнения:

; ;

Работа при переходе из состояния 2 в состояние 3:

А2 = 0, т.к. ΔV = 0

Полная работа:                        А = А1 + А2 = А1 = Р1·(V2 – V1)

Подставим числовые значения:

А = 2,026·105·2 = 4,052·105 Дж

Проверим размерность:

Ответ: ΔU = 7,45·105 Дж, А = 4,052·105 Дж.

 

Задача №6. Определите максимальный КПД тепловой машины, если температура нагревателя равна 2270С, а температура холодильника 270С.

Тн = 2270С = 500 К;

Тх = 270С = 300 К.

η – ?

Решение: по определению КПД тепловой машины

Ответ: КПД тепловой машины 40%.

 

Задача №7. В латунный калориметр массой 0,15кг, содержащий 0,2кг воды при 150С, опустили железную гирю массой 0,26кг с температурой 1000С. Найти общую установившуюся температуру.

mк = 0,15 кг; mв = 0,2 кг; mг = 0,26 кг;

t1 = 150С; t = 1000С;

Ск = 380 Дж/кг·К; Св = 4187 Дж/кг·К; Сг = 460 Дж/кг·К.

Θ – ?

Решение: для решения задачи используем уравнение теплового баланса. В нашем случае калориметр и вода нагреваются, а железная гиря охлаждается.

Теплота, отдаваемая гирей:

Qг = Сгmг·(t – Θ)

Теплота, полученная водой:

Qв = Свmв·(Θ – t1)

Теплота, полученная калориметром:

Qк = Скmк·(Θ – t1)

Запишем уравнение теплового баланса:

Сгmг·(t – Θ) = Свmв·(Θ – t1) + Скmк·(Θ – t1)

Представим числовые значения:

Проверка единиц измерения:

 

Ответ: температура смеси 250С.

 

Задача №8. Какое количество водяного пара, при температуре 1000С, необходимо, чтобы расплавить 2 кг льда при температуре 263 К и полученную воду нагреть до 283 К? Конденсат пара не смешивается с водой, полученной от таяния льда, и отводится при температуре 1000С.

tв = 100С;

mл = 2 кг;

Cл = 2,09·103 Дж/кг·К;

λл = 3,35·105 Дж/кг;

r = 2,26·106 Дж/кг;

CВ = 4,2·103 Дж/кг;

tпл = 00С;

tл = -100С.

mп – ?

Решение: для решения задачи составим уравнение теплового баланса:

Qп = Qк + Qпл + QВ

Водяной пар, конденсируясь, отдает некоторое количество теплоты:

Q = rmп

Так как смешивание конденсата с теплой водой не происходит и температура конденсата равна температуре пара, то теплота, выделяемая при остывании конденсата, не участвует в плавлении льда и нагревании воды. Для нагревания льда до температуры плавления потребуется количество теплоты:

Qл = Cлmл·(tпл – tл)

Для плавления льда:    Qл = λл·mл

Для нагревания воды, полученной из растаявшего, до температуры 100С:

Qв = Cвmл·(t – tпл)

Следовательно:                      

Отсюда:                                  

Подставим числовые значения:

 

Проверка единиц измерения:

Ответ: для плавления необходимо водяного пара 0,352 кг.

 

Задача №9. Свинцовая дробинка, летящая со скоростью 100 м/с пробивает доску и вылетает из нее со скоростью 60 м/с. На сколько градусов нагреется дробинка, если считать, что на увеличение ее внутренней энергии идет 40% потерянной кинетической энергии? Удельная теплоемкость свинца 125,4 Дж/(кг·К)

v1 = 100 м/с;

v2 = 60 м/с;

η = 0,4;

С = 125,4 Дж/(кг·К).

ΔТ – ?

Решение: доля η от модуля изменения (потери) кинетической энергии дробинки идет на увеличение ее внутренней энергии, т.е.:

η = |E1E2| = Q,

где: ; ; Q =mc·ΔT

 

Из этих уравнений получим:

;

 

Ответ: дробинка нагреется на 10,2 К.