Задача №1. В автомобильн6ой шине находится воздух под давлением 5,9·105 Па при температуре 293 К. Во время движения автомобиля температура воздуха повышается до 308 К. На сколько увеличится давление воздуха внутри шины? Объём шины считать постоянным.

 

Р1 = 5,9·105 Па;

Т1 = 293 К;

Т2 = 308 К.

ΔР – ?

 

Решение: объём шины остаётся постоянным, следовательно применим закон Шарля:

где       Р2 – давление, при котором находится воздух в шине при температуре Т2.

Из закона Шарля:                   

Увеличение давления определим как разность давлений при температурах Т2 и Т1:

;

 

Ответ: давление в шине увеличится на 3,02·104 Па.

 

Задача №2. Плотность газа при давлении 2·105 Па и температуре 27°С равна 2,4 кг/м3. Какова молярная масса этого газа? Универсальная газовая постоянная 8,32 Дж/моль·К.

 

ρ1 = 2,4 кг/м3;

Р = 2·105 Па;

Т = 27°С = 300 К;

R = 8,32 Дж/моль·К.

μ – ?

 

Решение: запишем уравнение Менделеева-Клапейрона:

По определению плотность  где m – масса газа, V – его объём.

Тогда                                       откуда

                                              

Размерность:               .

Ответ: молярная масса газа равна примерно 3·10-2 кг/моль.

 

Задача №3. Определить плотность насыщенного водяного пара при 27°С, если известно, что его давление при этой температуре равно 26,7 мм.рт.ст. Молярная масса пара 18·10-3 кг/моль. Газовая постоянная 8,З1 Дж/моль·К.

 

Т = 27°С = 300 К;

Р = 26,7 мм.рт.ст. = 3559 Па;

μ = 18·10-3 кг/моль;

R = 8,31 Дж/моль·К.

ρ – ?

 

Решение: запишем уравнение Менделеева-Клапейрона:

.

Плотность вещества  где m – масса пара, тогда:

 откуда

.

Размерность:               .

Ответ: плотность водяного пара при 27°С равна 2,6·10-2 кг/м3.

 

Задача №4. Из сосуда откачивают воздух. Объём сосуда 3·10-3 м-3, объём цилиндра насоса 0,5·10-3 м-3. Каким будет давление воздуха в сосуде после пяти рабочих ходов поршня, если сосуд в начале содержал воздух при давлении 1,013·105 Па, а температура – постоянная.

 

V1 = 3·10-3 м-3;

V2 = 0,5·10-3 м-3;

P0 = 1,013·105 Па;

t° = const.

P5 – ?

 

Решение: температура в процессе откачки воздуха остаётся постоянной, следовательно, при решении задачи необходимо использовать закон Бойля-Мариотта.

Если первоначально воздух занимал объём V1, то в конце первого хода поршня воздух будет занимать объём V1 + V2 и иметь давление P1. По закону Бойля-Мариотта:

P0V1 = P1·(V1 + V2);

.

В начале второго рабочего хода поршня объём и давление воздуха равны соответственно V1 и P1, в конце V1 + V2 и P2. Применив ещё раз соотношение Бойля-Мариотта получим:

P0V1 = P1·(V1 + V2);

.

Вообще к концу n-го рабочего хода:

.

Приведём размерность:            .

Подставляя числовые значения:

.

Ответ: давление установится равным 0,469·105 Па.

 

Задача №5. Некоторую массу газа при постоянной температуре сжимают так, что его объём уменьшается в 4 раза. После этого при постоянном объёме охлаждают с 77°С до 7°С. Определите, во сколько раз изменилось давление газа.

 

;

t1 = 77°С, Т1 = 350 К;

t3 = 7°С, Т3 = 280 К.

 

Решение: в описанном процессе имеются три состояния, характеризующиеся параметрами: |P1; V1; T1|, |P2; V2; T2| и |P3; V3; T3|.

Согласно уравнению Менделеева – Клапейрона:

Так как                        Т1 = Т2 и , то ,

откуда                         

Ответ: давление возросло в 3,2 раза.

 

Задача №6. Открытый сосуд нагрет до температуры 450°С. Какая часть массы воздуха осталась в нём, по сравнения с тем количеством, какое в нём было при 27°С? Расширением сосуда пренебречь.

 

t1 = 27°С, Т1 = 300 К;

t2 = 450°С, Т2 = 723 К.

 

Решение: термодинамическое состояние газа описывается уравнением Менделеева-Клапейрона. Так как масса воздуха в сосуде меняется, то применим уравнение Менделеева-Клапейрона для каждой массы до и после нагревания:

 

1)  – до нагревания;

 

2)  – после нагревания,

 

где m1 и m2 – массы воздуха в сосуде, соответственно, до и после нагревания.

Поделив второе уравнение на первое, получим:

.

Подставив значения:    .

 

Ответ: после нагревания осталась 0,415-я часть воздуха.

 

Задача №7. Определить плотность смеси, состоящей из 4·10-3 кг водорода и 32·10-3 кг кислорода при температуре 280 К и давлении 9,3·104 Па.

 

m1 = 4·10-3 кг;

m2 = 32·10-3 кг;

μ1 = 2·10-3 кг/моль;

μ2 = 32·10-3 кг/моль;

T = 280 К;

Рсм = 9,3·104 Па;

R = 8,31 Дж/моль·К.

ρсм – ?

 

Решение: плотность смеси определяется как отношение всей массы газа к объёму, занимаемому газом:

,

где m1 – масса водорода; m2 – масса кислорода; V – объём занимаемый смесью.

Объём занимаемый смесью можно определить, используя закон Дальтона, закон Менделеева-Клапейрона:

,

где       P1 – парциальное давление воздуха в смеси;

P2 – парциальное давление кислорода в смеси.

Из полученного уравнения определяем объём, занимаемый смесью водорода и кислорода:

Таким образом, плотность смеси определяется соотношением:

Проверка единиц измерения:

 

Ответ: плотность смеси равна 0,48 кг/м3.

 

Задача №8. Из кислородного баллона емкостью 25 л при температуре 17°С израсходовали часть кислорода, причем давление в баллоне понизилось на 0,4 МПа. Определить массу израсходованного кислорода.

 

 

 

V = 25 л = 2,5·10-2 м3;

T = 17°С = 290 К;

ΔP = 0,4 МПа = 4·105 Па;

μ = 32·10-3 кг/моль.

Δm – ?

Решение: кислород имеет два состояния. Для первого состояния параметры газа:

,

для второго состояния:            .

 

Записываем уравнения для этих состояний, имея в виду, что если в первом состоянии масса m1, то во втором она равна:

m2 = m1 – Δm,

где       Δm – масса израсходованного кислорода.

 

; P2 = P1 – ΔP;

 

; m2 = m1 – Δm.

 

Решаем систему, определяя Δm:

 

;

 

;

 

.

 

Подставим числовые значения:

 

 

Проверим размерность:

 

 

Ответ: масса израсходованного кислорода Δm = 0,133 кг.

 

Задача №9. Какие изменения происходят с параметрами состояния идеального газа при переходе из состояния 1 в состояние 2? Масса газа постоянна.

Ответ: изохорное охлаждение (т.к. V = const, а P падает).

 

Задача №10. Резиновый мяч содержит 2 л воздуха, находящегося при температуре 20°С и под давлением 780 мм.рт.ст. Какой объем займет воздух, если мяч будет опущен в воду на глубину 10м? Температура воды 4°С.

 

t1 = 20°С, Т1 = 293 К;

V1 = 2 л = 3·10-3 м3;

Р1 = 780 мм.рт.ст. = 1,04·105 Па;

t2 = 4°С, Т2 = 277 К;

ρ = 103 кг/м3;

h = 10 м.

V1 – ?

 

Решение: давление воздуха под упругой оболочкой мяча, находящегося на глубине h, равно давлению в воде на этой глубине:

P2 = P1 + ρgh.

Подставляя это соотношение в уравнение состояния, получим:

 

.

 

Откуда                         ; V2 = 9,8·10-4 м3.

 

Ответ: воздух займёт объём 9,8·10-4 м3.

 

Задача №11. Баллон содержит сжатый воздух при 27°С и давлении 40 ат. Каково будет давление, когда из баллона будет выпущена половина массы газа и температура понизится до 12°С?

 

t1 = 27°С, Т1 = 300 К;

t2 = 12°С, Т2 = 285 К;

Р1 = 40 ат. ≈ 4·106 Па.

Р2 – ?

 

Решение: уравнение Менделеева-Клапейрона для каждого состояния газа имеет вид:

,

По условию:                 .

Из этих уравнений:       ; Р2 = 1,9·105 Па.

 

Ответ: установится давление 1,9·105 Па.

 

Задача №12. На рис. а, дан график изменения состояния идеального газа в координатах P, V. Представить этот цикл в координатах Р, Т, обозначив соответствующие точки.

 

Решение: при решении этих задач используются газовые законы. Обозначим параметры каждого состояния:

1 – P1, V1, T1;    2 – P1, V2, T2;

3 – P2, V2, T3;    4 – P2, V1, T4.

 

Процесс 1 – 2: P = const,

.

С учетом этого процесс 1 – 2 в координатах P, T изображаем следующим образом: указываем координаты точки 1 (T1 – произвольно; P1 – из рис. а), координаты точки 2 ( , где V1, V2 из рис. а); затем эти точки соединяем (рис. б).

Процесс 2 – 3: V = const, .

Координаты точки 3: T3 – на пересечении изохоры 2 – 3 (прямая через начало 0) и горизонтальной изобары P1; P2 – из рис. а.

Процесс 3 – 4: P = const, .

Процесс 4 – 1: V = const, .

Координаты точки 4: T4 – на пересечении изохоры 1 – 4 (прямая через начало 0) и изобары P1; P2 – из рис. а.