Задача №1. Материальная точка совершает гармонические колебания с частотой 0,5 Гц. Амплитуда колебания 80 см. Как зависит смещение материальной точки от времени, если колебательное движение начато из положения равновесия?

ν = 0,5 Гц;

А = 80 см = 0,8 м;

х = 0 при t = 0.

Х ?

Решение: уравнение колебания:

,

так как                        

При t = 0 х = 0, поэтому 0 = Asin(0 + φ0)

Отсюда                        φ0 = 0.

Тогда                          

Ответ: смещение Х зависит от времени t согласно уравнения .

 

Задача №2. Чему равно смещение колеблющейся точки от положения равновесия, если амплитуда колебаний 5 см, частота 0,5 Гц, начальная фаза равна нулю, а время равно 2 с?

А = 5 см;

ν = 0,5 Гц;

φ0 = 0;

t = 2 с.

Х ?

Решение: запишем уравнение гармонических колебаний:

где       ω = 2πν циклическая частота.

Тогда                                      

Ответ: в момент времени t = 2 с смещение колеблющейся точки Х = 0.

 

Задача №3. Математический маятник совершил 50 полных колебаний за 70 с. Определить период колебаний другого маятника, длина которого меньше в 4 раза.

n = 50;

t = 70 с;

2 = 1/4.

Т2 ?

Решение: период Т колебаний математического маятника равен:

                                                                         (1)

где       g – ускорение свободного падения,

ℓ – длина нити маятника.

Период колебаний первого маятника найдем как Т1 = t/n, т.к. период – время одного полного колебания. Для первого маятника формулу (1) запишем:

                                                                      (2)

для второго маятника:

                                                  (3)

Разделим формулу (3) на формулу (2):

                                              

откуда:                       

Ответ: т.к. период Т пропорционален , то при уменьшении ℓ в 4 раза период уменьшиться в  раз, т.е. в 2 раза и будет равен 0,7 с.

 

Задача №4. Два маятника, длины которых отличаются на 22 см, совершают в одном и том же месте за некоторое время один N1 = 30 колебаний, другой – N2 = 36 колебаний. Найти длины маятников.

Δℓ = 22 см = 0,22 м;

N1 = 30;

N2 = 36.

1; ℓ2 ?

Решение: периоды колебаний маятников:

                                                                      (1)

                                                                      (2)

Количество колебаний, совершенных за время t маятниками:

                                                                             (3)

                                                                            (4)

Из уравнений (1)-(4) с учётом, что , получим:

Ответ: длины маятников равны 0,72 м и 0,5 м.

 

Задача 5. Два маятника одновременно начинают колебаться. За одно и то же время первый совершает 15 колебаний, а второй только 10 колебаний. Определить отношение длин этих маятников.

t1=t2=t;

N1 = 15;

N2 = 10.

2:1   ?

Решение: первый маятник за время t сделает  колебаний.

Второй за это же время сделает  колебаний.

Их периоды соответственно будут:

Взяв отношение чисел колебаний и заменяя Т1 и Т2 их значениями, получаем:

или                                         

 

Ответ: второй маятник в 2,25 раза длиннее первого.

 

Задача №6. Определить массу вагона, если известно, что коэффициент упругости рессор каждой из двух его тележек равен 8·106 Н/м и замечено, что в пути период собственных колебаний вагона равен 0,3 с. Вагон на рессорах можно рассматривать как пружинный маятник.

k = 8·106 Н/м;

Т = 0,3 с.

m – ?

Решение: период колебаний пружинного маятника:

где       – масса, приходящаяся на одну из пружин (рессор):

Размерность:              

Ответ: масса вагона 36,5·103 кг.

 

Задача №7. Во сколько раз измениться длина звуковой волны при переходе звука из воздуха в воду? Принять скорость звука в воздухе 340 м/с, в воде 1360 м/с.

v1 = 340 м/с;

v2 = 1360 м/с.

λ21 ?

Решение: длинна волны λ выражается через скорость v, частоту ν или период Т колебаний следующим образом:

Так как при переходе из одной среды в другую период Т (или частота ν) не меняются, т.е. Т1 = Т2, то:

Ответ: при переходе из воздуха в воду длина волны звука увеличится в 4 раза.

 

Задача №8. Радиолокатор посылает 1000 импульсов в секунду. Определить наибольшую дальность действия этого радиолокатора.

N = 1000;

t = 1 c.

S – ?

Решение: сигнал, который посылает радиолокатор, должен достичь объекта, отразиться от него и вернуться на приёмную станцию радиолокатора. Радиолокатор не должен посылать следующий сигнал, пока не будет принят посланный перед этим. Следовательно, максимально больший путь S сигнал пройдёт туда и обратно за время t со скоростью распространения электромагнитных волн с:

2S = сТ,

где       Т – период посылки импульсов:

,

Очевидно, чем меньше сигналов посылает радиолокатор в 1 с, тем больше его дальность действия.

Ответ: наибольшая дальность действия локатора равна 150 км.