Задача №1. Турист вышел из некоторого пункта и, двигаясь строго на север, за 1 час прошёл 4 км, затем он повернул на восток и прошёл ещё 4 км. Через 1 час он повернул строго на юго-восток и в течении 1 часа прошёл 7 км. Найти модуль результирующего перемещения туриста за 3 часа и пройденный путь. Ответ дать в километрах.

 

S1 = 4 км;

S2 = 4 км;

S3 = 7 км;

t1 = t2 = t3 = 1 ч.

Решение: выберем систему отсчёта, связанную с землёй (рис.), координатные оси направим так, чтобы ось у совпадала с движением на север.

Построим векторы отдельных перемещений , ,  и результирующего перемещения .

Определим результирующее перемещение. Из рисунка видно, что:

 

 

так как                        

По условию , тогда . Следовательно, ∆ОВС прямоугольный. Поэтому:

Пройденный туристами путь:

ℓ = ОА + АВ + ВС;

ℓ = 4 + 4 + 7 = 15 км.

Ответ: перемещение = 9км; путь ℓ = 15 км.

 

Задача №2. Колонна мотострелковых войск движется по шоссе со скоростью v = 10 м/с, растянувшись на расстояние ℓ = 3 км. Из хвоста и головы колонны одновременно выезжают навстречу друг другу два мотоциклиста со скоростями v1 = 20 м/с и v2 = 15 м/с соответственно. За какое время первый мотоциклист достигнет головы, а второй хвоста колонны?

v =10 м/с;

ℓ = 3 км = 3000 м;

v1 = 20 м/с;

v2 = 15 м/с.

t1; t2 – ?

Решение: I способ: выберем подвижную систему отсчёта, перемещающуюся с колонной (рис.). За начало координат 0/ принимаем хвост колонны, а за положительное направление оси 0/Х/ – направление движения колонны.

Неподвижную систему отсчёта связываем с землёй, начало координат 0 совмещаем с точкой, где находился хвост колонны в момент выезда мотоциклистов, положительное направление оси ОХ такое же, как оси О/Х/. Обозначаем через  и  скорости первого и второго мотоциклистов в подвижной системе отсчёта. Согласно закону сложения скоростей:

отсюда:                                  

                                              

Найдём проекции векторов  и  на ось О/Х/, учитывая при этом, что проекция разности векторов равна разности их проекций (на одну и ту же ось):

или                                         

Напишем уравнение, выражающие зависимость координаты первого мотоциклиста от времени t:

.                                                                   (1)

В момент времени t = t, мотоциклист достигнет головы колонны, его координата станет равной Х/1 = ℓ. На основании уравнения (1) получим:

отсюда                                                                                                   (2)

Зависимость координаты второго мотоциклиста от времени выражается уравнением:

                                                             (3)

В момент времени t = t2 второй мотоциклист достигнет хвоста колонны, координата которого . Согласно уравнению (3) получим:

отсюда                                                                                                  (4)

Проверим размерность:

Подставив в формулы (2) и (4) числовые значения заданных величин, найдём:

Ответ: время движения первого и второго мотоциклистов соответственно равны t1 = 600 c; t2 = 8,57 c.

II Способ: рассматривая движение колонны мотоциклистов относительно неподвижной системы отсчёта, запишем уравнения для координат первого (Х1) и второго (Х2) мотоциклистов, а также координат головы (Х3) и хвоста (Х4) колонны:

.

В момент времени t = t1, когда первый мотоциклист достигнет головы колонны, будет иметь место равенство Х1 = Х3, т.е.

откуда                         

Второй мотоциклист достигнет хвоста колонны в момент времени t = t2, при этом Х2 = Х4. Следовательно:

откуда                         

Таким образом, независимо от выбора системы отсчёта, результат получается одним и тем же.

 

Задача №3. Катер пересекает реку. Скорость течения равна v1 = 0,7 м/с, скорость катера относительно воды v2 = 1,4 м/с, ширина реки 280 м. Под каким углом α к берегу должен идти катер, чтобы пересечь реку за минимальное время? На какое расстояние снесёт катер по течению?

v1 = 0,7 м/с;

v2 = 1,4 м/с;

L = 280 м.

d; α – ?

Решение: движение катера – сложное (рис.):

1) он перемещается относительно воды со скоростью ;

2) вместе с водой относительно берега со скоростью .

Неподвижную систему координат ХОУ свяжем с берегом, приняв за начало координат О точку, с которой катер начинает двигаться, и направив ось ОХ по течению, вдоль берега, а ось ОУ перпендикулярно берегу. Относительно системы координат ХОУ катер движется со скоростью:

.

Найдём проекции вектора на оси ОХ и ОУ:

.

Запишем уравнения, выражающие зависимость координат катера от времени:

.

Катер достигнет другого берега в момент времени t = t1, когда y = L,

где       L – ширина реки.

Следовательно, время, необходимое для пересечения реки:

.

Оно будет минимальным, когда , т.е. когда . Это означает, что катер должен держать курс перпендикулярно берегу. Расстояние, на которое снесёт катер, определится как:

или                                         

Ответ: катер должен идти к берегу под углом  и снести катер по течению расстояние на d = 140 м.

 

Задача №4. Первую половину пути автомобиль двигался со скоростью 80 км/ч, а вторую половину со скоростью 40 км/ч. Найти среднюю скорость движения автомобиля.

S1 = S2 = S/2;

v1 = 80 км/ч = 22 м/с;

v2 = 40 км/ч = 11 м/с.

vср – ?

Решение: при прямолинейном движении путь равен модулю вектора перемещения, поэтому:

,                                                                               (1)

где       S – перемещение автомобиля.

Полное время движения:

Здесь S1, S2 – перемещение автомобиля за время t со скоростью v1 и время t2 со скоростью v2 соответственно. По условию задачи:

.

Следовательно:                                                                                           (2)

Подставляя выражение (2) в уравнение (1) найдём:

.

Ответ: средняя скорость движения равна vср = 14,7 м/с.

 

Задача №5. Самолёт для взлёта должен приобрести скорость 288 км/ч. Каково ускорение самолета, если длинна взлётной полосы 1 км?

 

v = 288 км/ч;

S = 1 км.

а – ?

Решение: движение самолёта равноускоренное. Используя уравнение кинематики (для случая, когда начальная скорость v0 = 0) получаем:

откуда                          ;

Размерность:               ;

 

 

Ответ: ускорение самолёта, a = 41472 км/ч2 или в системе СИ a = 3,2 м/с2.

 

Задача №6. Камень брошен под углом 300 к горизонту со скоростью 10 м/с. Через какое время камень будет на максимальной высоте? На каком расстоянии от начальной точки он упадёт? Ускорение свободного падения 10 м/с2.

 

α = 300;

v0 = 10 м/с;

g = 10 м/с2.

tм; S – ?

Решение: рассмотрим график движения тела (рис.)

Разложим вектор начальной скорости v0 на две составляющие: вертикальную:

и горизонтальную        

Вертикальная составляющая убывает со временем по закону:

;

и в верхней точке А траектория обращается в нуль, т.е.

,

откуда время достижения максимальной высоты (точка А):

;

Размерность:              

Время полёта камня до падения будет в два раза больше t = 2tм и движение его по горизонтали (без учёта сопротивления воздуха) будет равномерным с постоянной скоростью vог, т.е.:

.

Размерность:               ;

Ответ: время достижения камнем максимальной высоты 0,5 с, расстояние от начальной точки до точки падения (дальность полёта) 8,66 м.

 

Задача №7. Охарактеризуйте движения двух материальных точек, графики скоростей которых 1 и 2 представлены на (рис.).

Ответ: на рисунке представлены графики равноускоренных движений двух материальных точек (графики – прямые линии, ускорения численно равны тангенсам углов наклона прямых). Вторая материальная точка начала двигаться с начальной скоростью v0 и с большим по величине ускорением a2 > a1. Первая точка начала движение без начальной скорости.

 

Задача №8. Как движутся поезда 1, 2 и 3, графики движения которых даны на (рис. а, б, в)

 

Ответ: поезд №1 стоит, т.к. пройденный путь S не меняется со временем, поезд №2 движется равномерно (v = const), поезд №3 движется равноускоренно с постоянным ускорением а.

 

Задача №9. Задана система координат, где по осям отложены ускорение a и время t. Начертите графики равномерного, равноускоренного и равнозамедленного движения на (рис. а)

 

Ответ: график 1 равномерного движения (a = 0), график 2 равноускоренного движения a > 0 и постоянно во времени, график 3 равнозамедленного движения a < 0 и постоянно во времени (рис. б)

 

Задача №10. Охарактеризуйте движения двух материальных точек, графики пути которых 1 и 2 представлены на рисунке.

Ответ: на рисунке представлены графики равномерных движений с постоянной одинаковой скоростью (v1 = v2) (графики прямые параллельные линии, скорости движения численно равны тангенсам их углов наклона). Точка 2 к началу движения прошла некоторый путь S > 0.

 

Задача №11. Определить путь, пройденный телом при свободном падении за пятую секунду движения (g = 10 м/с2).

 

t5 = 1 с;

v0 = 0.

h5 – ?

Решение: используя уравнение кинематики для пути при свободном падении, выразим пути, пройденные телом за пять секунд (h15) и за предшествующие четыре секунды (h14).

Тогда путь за одну пятую секунду:

 

 

Размерность:              

 

 

Ответ: за пятую секунду при свободном падении с ускорением g = 10 м/с2 тело пройдёт путь равный 45 м.

 

Задача №12. Линейная скорость точек обода колеса равна 5 м/с, а скорость точек, находящихся на 0,18 м ближе к оси вращения, равна 2 м/с. Определить период вращения.

 

v1 = 5 м/с;

v2 = 2 м/с;

х = 0,18 м.

Т – ?

Решение: точки колеса (рис.) как твёрдого тела вращаются с одинаковой угловой скоростью ω. Линейная скорость:

 

– для точки 1:                                                                                          (1)

 

– для точки 2:                                                                                 (2)

 

Определим радиус колеса R:

 

;

 

откуда:                        ;                                                                      (3)

 

Перепишем уравнение (1), выражая ω через период Т:

 

 

 

или с учётом формулы (3):

 

откуда                         

 

Размерность:              

 

 

Ответ: период вращения колеса равен 0,37 с.

 

Задача №13. Найти скорость вагона, если его колесо делает 190 оборотов в минуту при диаметре 950 мм.

 

D = 950 мм = 0,95 м;

n = 190 мин-1 = 3,167 с-1.

v – ?

Решение: выразим линейную скорость:

Размерность:              

 

Ответ: скорость вагона равна 9,4 м/с.