Задача №1. При изменении тока в катушке индуктивности на величину 1 А за время 0,6 с в ней возникнет ЭДС, равная 2·10-4 В. Какую длину будет иметь радиоволна, излучаемая генератором, контур которого состоит из этой катушки и конденсатора ёмкостью 14,1·10-9 Ф?

ΔI = 1 A;

Δt = 0,6 с;

εc = 2·10-4 В;

C = 14,1·10-9 Ф.

λ – ?

Решение: колебательный контур генератора настроен на длину волны, при которой период его собственных колебаний Т равен периоду электромагнитной волны. По формуле Томсона:

ЭДС самоиндукции, возникающая в контуре при изменении силы тока в нём, равна:

.

Из этих формул с учётом, что  получим:

Ответ: радиоволна имеет длину 2,5·103 м.

 

Задача №2. Колебательный контур имеет частоту 50 кГц. Во сколько раз надо увеличить расстояние между пластинами конденсатора, чтобы частота контура стала 70 кГц?

 

ν1 = 50 кГц;

ν2 = 70 кГц.

d2/d1 – ?

 

Решение: частота колебаний электрического контура ν зависит от индуктивности L и ёмкости контура С:

Ёмкость плоского конденсатора:

где       ε0 – электрическая постоянная,

ε – диэлектрическая проницаемость (для вакуума ε = 1),

S – площадь пластин,

d – расстояние между пластинами конденсатора.

С учётом этого:                       

тогда:                         

Ответ: для увеличения частоты колебаний в 1,4 раза расстояние между пластинами конденсатора следует увеличить в 2 раза.

 

Задача №3. Колебательный контур приёмника состоит из слюдяного конденсатора, площадь пластин которого 800 см2, а расстояние между ними 1 мм, и катушки. На какую длину волны резонирует этот контур, если максимальное значение напряжения на пластинах конденсатора в 100 раз больше максимального значения силы тока в катушке? Активным сопротивлением контура пренебречь. Диэлектрическая проницаемость среды равна 7.

ε = 7;

S = 800 см2 = 0,08 м2;

d = 1 мм = 0,001 м;

λ – ?

Решение: искомая длина волны зависит от периода колебания заданного контура:

                                                                               (1)

где       с = 3·108 м/с – скорость распространения электромагнитных волн.

Период колебания:

                                                                      (2)

По условию задачи можно найти значение электроёмкости конденсатора:

                                                                           (3)

Так как активным сопротивлением можно пренебречь, то выполняется закон сохранения энергии, согласно которому максимальная энергия электрического поля конденсатора  равна максимальной энергии магнитного поля катушки

Из этого следует, что:                                                                           (4)

Решив совместно уравнения (1)-(4), находим:

Ответ: контур резонирует на длину волны равную 933 м.

 

Задача №4. Плоская бегущая волна распространяется вдоль прямой со скоростью 20 м/с. Точка, находящаяся на этой прямой на расстоянии 15 м от источника волн, колеблется с ним с разностью фаз 0,75π. Амплитуда колебаний источника волн равна 0,1 м. Определить первый момент времени после начала распространения волны, в которой заданная точка будет иметь смещение 7,1 см. Считать φ0 = 0.

v = 20 м/с;

Хm = 0,1 см;

r = 15 м;

Δφ = 0,75π рад;

Х(r,t1) = 0,071м;

φ0 = 0

t1 – ?

Решение: запишем уравнение плоской волны:

                                 (1)

Так как                        ,

где       Т – период колебаний.

где       λ – длина волны.

То можем записать:                                                                                (2)

Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии  колеблются с разностью фаз:

Подставляя в это выражение, y2 = r, а y1 = 0 находим:

Теперь из (2) можно найти циклическую частоту:

 рад/с.

В уравнение (1) подставляем полученное значение ω и данные из условия задачи y = r и t = t1:

Решая это уравнение относительно t1 получаем:

Так как                       

Отсюда находим:                     t1 = 1 c.

Ответ: смещение в 7,1 см будет достигнуто через 1 с.